El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido
experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido
desalojado.
La explicación del principio de Arquímedes consta de dos partes como se
indica en la figuras:
- El estudio de las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido.
- La sustitución de dicha porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones.
Porción de fluido en equilibrio con el resto del
fluido.
Consideremos, en primer lugar, las fuerzas sobre una porción de fluido
en equilibrio con el resto de fluido. La fuerza que ejerce la presión del fluido
sobre la superficie de separación es igual a p·dS, donde p solamente
depende de la profundidad y dS es un elemento de superficie.
Puesto que la porción de fluido se encuentra en
equilibrio, la resultante de las fuerzas debidas
a la presión se debe anular con el peso de dicha porción de fluido. A esta
resultante la denominamos empuje y su punto de aplicación es el centro de masa
de la porción de fluido, denominado centro de empuje.
De este modo, para una porción de fluido en equilibrio con el resto, se
cumple
Empuje=peso=rf·gV
El peso de la porción de fluido es igual al producto de la densidad del
fluido rf por la aceleración de la gravedad g y
por el volumen de dicha porción V.
Se sustituye la porción de fluido por un cuerpo
sólido de la misma forma y dimensiones.
Si sustituimos la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma
forma y dimensiones. Las fuerzas debidas a la presión no cambian, por tanto, su
resultante que hemos denominado empuje es la misma y actúa en el mismo punto,
denominado centro de empuje.
Lo que cambia es el peso del cuerpo sólido y su punto de aplicación que
es el centro de masa, que puede o no coincidir con el centro de empuje.
Si sustituimos la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma
forma y dimensiones. Las fuerzas debidas a la presión no cambian, por tanto, su
resultante que hemos denominado empuje es la misma y actúa en el mismo punto,
denominado centro de empuje.
Lo que cambia es el peso del cuerpo sólido y su punto de aplicación que
es el centro de masa, que puede o no coincidir con el centro de empuje.
Ejemplo:
Supongamos un cuerpo sumergido de densidad ρ rodeado
por un fluido de densidad ρf. El área de la base del
cuerpo es A y su altura h.
La presión debida al fluido sobre la base superior es p1= ρfgx,
y la presión debida al fluido en la base inferior es p2= ρfg(x+h).
La presión sobre la superficie lateral es variable y depende de la altura, está
comprendida entre p1 y p2.
Las fuerzas debidas a la presión del fluido sobre la superficie lateral
se anulan. Las otras fuerzas sobre el cuerpo son las siguientes:
·
Peso del cuerpo, mg
·
Fuerza debida a la presión sobre la
base superior, p1·A
·
Fuerza debida a la presión sobre la
base inferior, p2·A
En el equilibrio tendremos que
mg+p1·A= p2·A
mg+ρfgx·A= ρfg(x+h)·A
o bien,
mg=ρfh·Ag
Como la presión en la cara inferior del cuerpo p2 es
mayor que la presión en la cara superior p1, la
diferencia es ρfgh. El resultado es una fuerza
hacia arriba ρfgh·A sobre el cuerpo debida al
fluido que le rodea.
Como vemos, la fuerza de empuje tiene su origen en la diferencia de
presión entre la parte superior y la parte inferior del cuerpo sumergido en el
fluido.
Con esta explicación surge un problema interesante y debatido.
Supongamos que un cuerpo de base plana (cilíndrico o en forma de paralepípedo)
cuya densidad es mayor que la del fluido, descansa en el fondo del recipiente.
Si no hay fluido entre el cuerpo y el fondo del recipiente ¿desaparece
la fuerza de empuje?, tal como se muestra en la figura.
Si se llena un recipiente con agua y se coloca un cuerpo en el fondo, el
cuerpo quedaría en reposo sujeto por su propio peso mg y la
fuerza p1A que ejerce la columna de fluido situada
por encima del cuerpo, incluso si la densidad del cuerpo fuese menor que la del
fluido.La experiencia demuestra que el cuerpo flota y llega a la superficie.
El principio de Arquímedes sigue siendo aplicable en todos los casos y
se enuncia en muchos textos de Física del siguiente modo:
Cuando
un cuerpo está parcialmente o totalmente sumergido en el fluido que le rodea,
una fuerza de empuje actúa sobre el cuerpo. Dicha fuerza tiene dirección
hacia arriba y su magnitud es igual al peso del fluido que ha sido desalojado
por el cuerpo.
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En este apartado, se estudia el principio de Arquímedes como un ejemplo,
de cómo la Naturaleza busca minimizar la energía.
Se libera el cuerpo, oscila hacia arriba y hacia abajo, hasta que
alcanza el equilibrio flotando sobre el líquido sumergido una longitud x.
El líquido del recipiente asciende hasta una alturad. Como la cantidad
de líquido no ha variado S·b=S·d-A·x.
Hay que calcular x, de modo que la energía potencial del
sistema formado por el cuerpo y el fluido sea mínima.
Tomamos el fondo del recipiente como nivel de referencia de la energía
potencial.
El centro de masa del cuerpo se encuentra a una altura d-x+h/2.
Su energía potencial es Es=(ρs·A·h)g(d-x+h/2).
Para calcular el centro de masas del fluido,
consideramos el fluido como una figura sólida de sección S y
altura d a la que le falta una porción de sección A y
altura x.
- El
centro de masas de la figura completa, de volumen S·d es d/2
- El
centro de masas del hueco, de volumen A·x, está a una
altura (d-x/2)
La energía potencial del fluido es Ef=ρf(Sb)g·yf
La energía potencial total es Ep=Es+Ef
El valor de la constante aditiva cte, depende de la elección del nivel
de referencia de la energía potencial.
En la figura, se representa la energía potencial Ep(x)
para un cuerpo de altura h=1.0, densidad ρs=0.4,
parcialmente sumergido en un líquido de densidad ρf=1.0.
La función presenta un mínimo, que se calcula derivando la energía
potencial con respecto de x e igualando a cero.
En la posición de equilibrio, el cuerpo se encuentra sumergido.
Cuando un
globo de helio asciende en el aire actúan sobre el globo las siguientes
fuerzas:
- El peso del globo Fg=–mgj .
- El empuje Fe= rfVgj, siendo rf la densidad del fluido (aire).
- La fuerza de rozamiento Fr debida a la resistencia del aire.
Dada la fuerza conservativa podemos
determinar la fórmula de la energía potencial asociada, integrando.
- La
fuerza conservativa peso Fg=–mgj está
asociada con la energía potencial Eg=mg·y.
- Por la misma razón, la fuerza conservativa empuje Fe= rVg j está asociada a la energía potencial Ee=-rfVg·y.
Dada la energía potencial podemos obtener la fuerza conservativa, derivando.
La energía potencial asociada con las dos fuerzas conservativas es
Ep=(mg- rfVg)y
A medida que el globo asciende en el aire con velocidad constante
experimenta una fuerza de rozamiento Fr debida a la
resistencia del aire. La resultante de las fuerzas que actúan sobre el globo
debe ser cero.
rf Vg- mg-Fr=0
Como rfVg> mg a medida que el globo
asciende su energía potencial Ep disminuye.
Empleando el balance de energía obtenemos la misma
conclusión
El trabajo de las fuerzas no conservativas Fnc modifica
la energía total (cinética más potencial) de la partícula. Como el trabajo de
la fuerza de rozamiento es negativo y la energía cinética Ek no
cambia (velocidad constante), concluimos que la energía potencial final EpB es
menor que la energía potencia inicial EpA.
En la página titulada "movimiento de un cuerpo en el seno de un fluido
ideal", estudiaremos la dinámica del cuerpo y
aplicaremos el principio de conservación de la energía.
En el apartado anterior, estudiamos la energía potencial de un cuerpo totalmente sumergido en un fluido
(un globo de helio en la atmósfera). Ahora vamos a suponer un bloque cilíndrico
que se sitúa sobre la superficie de un fluido (por ejemplo agua).
Pueden ocurrir dos casos:
- Que
el bloque se sumerja parcialmente si la densidad del cuerpo sólido es
menor que la densidad del fluido, rs< rf.
- Que
el cuerpo se sumerja totalmente si rs³ rf.
Cuando el cuerpo está parcialmente sumergido, sobre el cuerpo actúan dos
fuerzas el peso mg=rsSh·g que es
constante y el empuje rfSx·g que no es constante.
Su resultante es
F=(-rsShg+rfSxg)j.
Donde S el área de la base del bloque, h la
altura del bloque y x la parte del bloque que está sumergida
en el fluido.
Tenemos una situación análoga a la de un cuerpo que se coloca sobre un muelle elástico en posición
vertical. La energía potencial gravitatoria mgy del cuerpo
disminuye, la energía potencial elástica del muelle kx2/2 aumenta,
la suma de ambas alcanza un mínimo en la posición de equilibrio, cuando se
cumple –mg+kx=0, cuando el peso se iguala a la fuerza que ejerce el
muelle.
El mínimo de Ep se
obtiene cuando la derivada de Ep respecto
de y es cero, es
decir en la posición de equilibrio.
La energía potencial del cuerpo parcialmente sumergido será, de forma
análoga.
El mínimo de Ep se
obtiene cuando la derivada de Ep respecto
de y es cero, es
decir, en la posición de equilibrio, cuando el peso se iguale al empuje. -rsShg+rfSxg=0
El bloque permanece sumergido una longitud x. En esta fórmula, se ha designado r como la densidad relativa del sólido (respecto del
fluido) es decir, la densidad del sólido tomando la densidad del fluido como la
unidad.
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